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Ibn al-Banna : Le mathématicien et l’astronome




Ibn al-Banna : Le mathématicien et l’astronome
Ibn Al-Banna al-Marrakushi al-Azdi encore appelé Abu'l-Abbas Ahmad ibn Muhammad ibn Uthman Al-Azdi, né en 1256, mort en 1321, était un mathématicien et astronome marocain.
Fils d'architecte, né à Marrakech en 1256, il acquit les compétences basiques de son époque en mathématiques et en géométrie et traduisit les Eléments d'Euclide en arabe. Il écrivit entre 51 et 74 traités, traitant de sujets aussi variés que l'algèbre, l'astronomie, la linguistique et la logique.
Il est connu entre autres pour deux de ses travaux :
- Talkhis amal al-hisab (Sommaire des opérations arithmétiques), qui aborde les fractions, les sommes de carrés et de cubes, ...
- Raf al-Hijab (Lever du voile sur les opérations du calcul), qui traite du calcul des racines carrées, et de la théorie des fractions continues.
- Un autre, Tanbih al-Abab recouvre des sujets juridiques de la vie de tous les jours:
- Calculs du niveau dans un canal d'irrigation.
- Explications mathématiques des lois islamiques sur l'héritage.
Calculs des taxes légales à la suite d'un retard de paiements.
En référence à Ibn Al-Banna al-Marrakushi, le nom Al-Marrakushi fut officiellement adopté, par l'Union astronomique internationale (UAI) en 1976, pour nommer un cratère d'impact sur la face visible de la Lune.
On ne sait pas si Al-Banna est né dans la ville de Marrakech ou dans sa région. Il y a une autre version qui dit que Al-Banna était né à Grenade en Andalousie et s’était installé au Maroc. Ce qui est certain, c'est qu'il avait passé la totalité de sa vie au Maroc.
Les Marinais étaient les alliés des Umayyades, califes de Cordoba. Il vivaient dans l'Est du Maroc, puis sous les ordres de leur chef Abou Yahya, ils commençaient à conquérir la région. Les Marinais ont conquis Fès en 1248 et celle-ci devint leur capitale, puis Marrakech en 1269 qui était sous le règne des Almohades. Ainsi ils ont pris le contrôle du Maroc. Les Marinais essayaient d'aider Grenade contre l'avancée des Chrétiens sur l'Andalousie. Le lien fort entre Grenade et le Maroc avait peut-être créé la confusion à propos du pays natal d'Al-Banna.
C'est au Maroc qu'Al-Banna avait été éduqué et avait appris les techniques mathématiques de la période. Il a étudié la géométrie en général, et les Eléments d'Euclide en particulier. Il a aussi étudié les nombres fractionnels et les impressionnantes contributions que les Arabes avaient établies en mathématiques 400 ans auparavant. Les Marinais vénéraient la culture et Fès était leur centre du savoir. A l'Université Al Karawiyyine à Fès, Al-Banna étudiait toutes les branches des mathématiques, qui en ce temps incluaient l'arithmétique, l'algèbre, la géométrie et l'astronomie. Fès était une ville prospère avec un nouveau quartier à côté du palais royal joignant la grande Mosquée. Beaucoup d'étudiants apprenaient sous la direction d'Al-Banna dans cette prospère communauté académique.
Il est clair qu'Al-Banna a écrit un grand nombre de travaux. Effectivement, 82 ouvrages sont classés par Renaud. Pas tous sur les mathématiques, mais les textes mathématiques incluent une introduction sur les Eléments d'Euclide, un texte d'algèbre et des travaux variés sur l'astronomie. Une difficulté avec les travaux sur les mathématiques montre que la matière présentée est originale et que sa version est simplement un travail des premiers mathématiciens arabes. Le travail d'Al-Banna ne présente certainement pas d'originalité. En effet, le style de son écriture suggérerait qu'il rassemble des idées qu'il avait étudiées chez les autres mathématiciens.
Deux "premières" pour Al-Banna : il semble être le premier à avoir considéré une fraction comme un rapport entre deux nombres et il est également le premier à avoir utilisé l'expression almanakh (en arabe al-manakh veut dire le climat) dans un travail contenant des données astronomiques et météorologiques.
Talkhis amal al-hisab (Sommaire des opérations arithmétiques) est peut-être le travail le plus fameux d'Al-Banna et Raf Al-Hijab est son propre commentaire sur Talkhis amal al-hisab. C'est dans ce travail que Al-Banna introduit quelques notations mathématiques qui avaient poussé certains auteurs à croire que le symbolisme algébrique était en premier développé par Ibn Al-Banna et Al-Qalasadi.
Il y a beaucoup d'idées mathématiques intéressantes dans le livre Raf al-Hijab. Par exemple, il contient les fractions continues qui sont utilisées pour le calcul approximatif des racines carrées.
Peut-être le plus intéressant de tout de ce travail repose sur les coefficients binomiaux. Si on dénote les coefficients binomiaux "p choisir k" par (p;k), on obtient :  (p;2) = p(p-1)/2 puis (p;3) = (p;2)(p-2)/3
Al-Banna écrit par exemple :  "...La combinaison ternaire est donc obtenue par la multiplication du troisième terme du nombre donné qui suit ; et donc nous multiplions toujours la combinaison qui précède par la combinaison cherchée par le nombre qui précède le nombre donné, et dont la distance par rapport à lui est égale au nombre de combinaisons cherchées. Du produit nous prenons la partie qui nomme le nombre de combinaisons."
Bien qu'il y ait une petite difficulté dans l'interprétation de ce que Al-Banna précise ici, ce dernier désigne que : (p;k) = (p;k-1)(p-(k-1))/k
Par la suite, il donne le résultat qui nous est familier : (p;k) = (p(p-1)(p-2)...(p-k+1))/k!
Rashed indique que cela représente un petit pas des résultats du triangle de Pascal donnés trois cents années plus tôt par Al-Karaji, puis encore une centaine d'années auparavant par Al-Samawal. Cependant, Rashed écrit : "... dans notre opinion, il y a quelque chose de plus fondamental que les résultats du [triangle de Pascal]; c'est précisément l'apparence combinatoire de l'exposition de Ibn Al-Banna, ensemble avec la relation qu'il établit partiellement entre les nombres polygonaux et les combinaisons. Cela concerne, en premier lieu, les nombres triangulaires et les combinaisons de p objets en deux, et ensuite les nombres polygonaux d'ordre 4 et les combinaisons de p objets en trois".

Mardi 14 Juin 2016

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